سوال این است چرا شاخص های آماری علم اقتصاد برای تک تک افراد خاص جامعه قابل اتکا نیستند؟ خود علم اقتصاد از درک این موضوع عاجز بود و بعضا حتی مفروضاتی عجیب در باره ی روانشناسی مردم به مفروضات خود می افزود تا پدیده های به ظاهر متناقض را توجیه کند. یکی از این مثال ها، پارادوکسسنت پترزبورگ است که در سال ۱۷۱۳ مطرح شد. در این پارادوکس مقدار میانگین مورد انتظار(expected value)  یک بازی شانسی بی نهایت است اما با وجود ظاهر پربازده این بازی،  عده ی کمی حاضر به این بازی هستند و این با رفتار سودگرایانه ی انسانها در تضاد است. راهکاری  جایگزین از همان اوایل توسط دانیل برنولی معرفی شد اما در نهایت اوله پیترز در ۲۰۱۱ موفق به حل آن شد.

ناگفته نماند که کار دانیل برنولی باعثمعرفی مفهوم جایگزین مطلوبیت نسبی یا مورد انتظاری (expected utility) برای مقدار مورد انتظار شد، و به مفهومی بنیادین در اقتصاد تبدیل شد که به نوعی تصحیح میانگین مورد انتظار پاسکال بود. مطلوبیت مورد انتظاری به طور ساده و خلاصه می گوید که یک نفر ثروتمند بر خلاف یک آدم فقیر وارد بازی ای که دستاورد کمی دارد نمی شود. درنتیجه افراد همیشه دنبال گزینه ای خواهند بود که بیشترین فایده را به آنها برساند. اوله پیترز به ما می آموزد که شاخص های مدنظر علم اقتصاد از لحاظ زمانی ایستا بوده و سیال نیستند. آنها یک شاخص جمعی برای یک لحظه ی خاص هستند نه یک شاخص فردی  در طول زمان. این دو شاخص لزوما با هم برابر نیستند و لذا در اقتصاد اغلب با سیستم های غیر ارگودیک (تعریف در ادامه خواهد آمد) روبه رو هستیم. از نظر او، علم اقتصاد درک درستی از نظریه ی ارگودیک نداشته و به صورت ناخواسته سیستم ها را ارگودیک در نظر گرفته است و بر اساس آن استراتژی های گمراه کننده ای توصیه کرده است.

اوله پیترز در اصل فارغ التحصیل فیزیک گرایش مکانیک آماری از دانشگاه امپریال کالج لندن است و با توجه به ارتباطاتی که بین ریاضیات مورد استفاده در رشته اش و ریاضیات اقتصاد وجود داشت توانست از سال ۲۰۰۶ روی پارادوکس سنت پترزبورگ کار کند و بعد از ۵ سال کار،این معمای ۳۰۰ ساله را حل کرده و مفروضات علم اقتصاد را که از زمان آدام اسمیت مسلم فرض میشدند دوباره زیر سوال ببرد. بار اول جان نش توانست با نظریه ی بازی های خود اصل نفع فردی اسمیت را زیر سوال ببرد و نشان داد که همکاری برای اقتصاد هم مورد نیاز است. نش بخاطر کارهایش جایزه ی نوبل اقتصاد ۱۹۹۴ و جایزه ی آبل ریاضی ۲۰۱۵ را دریافت کرد. اگرچه مخالفت اوله پیترز با اسمیت در حد مخالفت جان نش با اسمیت نیست، اما آنقدر قانع کننده است که در نهایت علم اقتصاد بدان تن خواهد داد. کارها و مفروضات اوله پیترز در علم اقتصاد شاید در بازه ی زمانی کوتاه ده ساله مورد مقبولیت عام قرار نگیرد اما قطعا در دهه های آینده علم اقتصاد را بسیار متحول خواهد کرد و در آینده ای دور به احتمال بسیار زیاد از برندگان نوبل اقتصاد خواهد بود. پیترز فرضیه ی ارگودیک را که به طور مرموز و پنهانی در اقتصاد انگاشته می شد آشکار کرد و آن را زیر سوال برد. برای مرور کارهای پیترز ما مجبوریم که در اینجا تعاریف و تاریخچه ای از مفاهیم را در علم فیزیک و ریاضی بیان کنیم.

فرض کنید یک جامعه ی آماری (مثلا یک گاز) را مطالعه می کنید و متغیر مورد مطالعه میانگین سرعت یا حرارت ذرات است. یک ایده ی انقلابی از فیزیکدان مشهور، لودویگ بولتزمان، این بود که دو میانگین برای این سیستم در نظر گرفته شود یکی میانگین تمام ذرات در یک لحظه ی خاص است که بدان میانگین فضایی (یا جمعی یا ایستا) گفته میشود و دیگری میانگین یک ذره ی خاص در طول زمان است که بدان میانگین زمانی (یا فردی یا سیال) گفته میشود. توجه شود که میانگین فضایی (یا جمعی) از لحاظ زمانی ایستاست اما میانگین زمانی (یا فردی) بوضوح از لحاظ زمانی سیال است.  در مورد گازها بولتزمان نشان داد که این دو میانگین برای محیط های بسته برابرند. البته ایده ی بولتزمان بدان صورت که ما امروزه می شناسیم نبوده و توسط جیمز ماکسول و سپس دیوید بیرخوف و جان فون نویمان به حد اعلا رسیدند و تحت  نظریه ی ارگودیک و سیستم های دینامیکی ارائه شدند.

کلمه ی ارگودیک یعنی برابری دو میانگین ((جمعیِ ایستا)) و ((فردیِسیال)). ارگودیسیتی یک سیستم نشان می دهد که چطور با وجود بی نظمی های بسیار در سطح میکروسکوپی (ریز)، ما تعادل را در سطح ماکروسکوپی (بزرگ) شاهد هستیم و می توان هریک از این مفاهیم را از طریق دیگری مطالعه کرد. یکی دیگر از کاربردهای ارگودیسیتی در پیش بینی پدیده های هواشناسی و حتی حرکات اجرام فضایی است. البته برابری مد نظر در نظریه ی ارگودیک به مفهوم برابری مطلق برای هر نقطه ی فضا نیست بلکه همواره تعدادی نقاط قابل چشم پوشی هستند که در این معادله صدق نمی کنند و به اصطلاح تقارن را می شکنند ولی مژر (یا احتمال) این نقاط صفر است. به نوعی این برابری به مفهوم فضاهای هیلبرت و مژرتئوریکی است و نباید آنرا همه جایی تعبیر کرد بلکه باید آنرا تقریبا همه جایی تعبیر کرد. در ضمن سیستم هایی وجود دارند که غیر ارگودیک هستند و اتفاقا تعداد این سیستم ها بسیار فراتر از سیستم های ارگودیک است. طرفه آنکه  سیستم های ارگودیک پدیده هایی استثنایی بوده و باید هم خیلی خوشحال بود که مثالی از این دست را یافته ایم. در ادامه مجبوریم گهگاهی از قانون اعداد بزرگ که یک قضیه در آنالیز ریاضی و نظریه ی احتمال است  نام ببریم. مفاد این قانون این است که با بزرگ کردن حجم نمونه ی آماری (از طریق افزودن عناصر/یا طولانی تر کردن مدت زمان/انجام آزمایش های بیشتر) اثرات شانس از بین می رود و میانگین تجربی به میانگین پیش بینی شده در تئوری نزدیک می شود. اکنون دو مثال دیگر برای مفهوم ارگودیک ارائه می شود:

• فرض کنید صد سکه را همزمان بیندازید. از طرف دیگر سکه ای را صد بار بیندازید. در اینصورت میانگین مورد انتظاربرای مشاهده ی رو در هر دو حالت یکسان و به عدد نیم بسیار نزدیک است. این یکی از سوالاتی است که در دبیرستان ذهن بسیاری از دانش آموزان  را به خود مشغول می کند که چرا در این مورد میتوان ترتیب فضا و زمان را عوض کرد، معادلا چرا باید فضای نمونه ای این دو آزمایش و نتایج میانگینی آن برابر باشند؟ بهرحال طبق تجارب بسیار بر ما مشهود شده است که این مثالی از یک سیستم ارگودیک ساده است. در اینجا میانگین فضایی به صورت جمعی عمل می کند و با افزایش تعداد سکه ها برای مجموعه ی اول و نیز تعداد دفعات انداختن سکه ی تنهای دوم،هر دو میانگینطبق قانون اعداد بزرگبه عدد نیم نزدیک و نزدیکتر می شوند.

• یک مثال از سیستم غیر ارگودیک، قمار خطرناک رولت روسی یا قمار مرگ است. در این بازی از یک کلت کمری استفاده می شود که ظرفیت ۶ گلوله دارد ولی فقط یک گلوله در آن تعبیه می شود. خشاب چرخانده می شود تا خودش از حرکت بایستد و سپس به سر بازیگر شلیک می شود. اگر جان سالم به در ببرد مبلغی مشخص جایزه می برد؛ اگر هم بمیرد که بازی را باخته و چیزی به ورثه اش پرداخت نمی شود. احتمال شکست در این بازی یک-ششم است و احتمال موفقیت پنج-ششم. حالا فرض کنید شش نفر به طور جداگانه این بازی را انجام دهند. در اینصورت احتمال موفقیت هریک ۸۳٪ است. اما آیا یک نفر حاضر است که این بازی را ۶ بار پشت سر هم انجام دهد؟ طبق قانون ضرب احتمال، موفقیت وی به ۳۳٪ کاهش می یابد! در کل این ویژگی ضربی بودن احتمال در طول زمان به همراه اینکه خودِ احتمال عددی اعشاری مابین صفر و یک است باعث می شود که میانگین زمانی در طول زمان کوچک و کوچکتر شود و لذا فرد قمارباز با انجام بازی های زیاد در طول زمان ضرر ببیند. به همین خاطر گاه گفته می شود که میانگین زمانی خاصیت ضربی دارد.

همانطور که اشاره شد از زمان بولتزمان، حدود ۱۵۰ سال پیش، در فیزیک جدا کردن این دو میانگین (فضایی و زمانی) روی داده بود اما متاسفانه در علم اقتصاد چنین چیزی روی نداده است.اگرچه با روشهای مکانیک آماری،ساختار بازارهای مالی و بورس مطالعه شده است اما متاسفانه تفکیک ارگودیک و غیر ارگودیک روی نداده است. از ۱۶۵۴ م. که پاسکال میانگین فضایی ( یا مقدار مورد انتظار) را مطرح کرد، کسانی مانند نیکولاس برنولی در ۱۷۱۳ م . با مطرح کردن پارادوکس سنت پترزبورگمتوجه نقص این مفهوم برای مطالعه بازی های شانس شدند و حتی دانیل برنولی نظریه ی مطلوبیت انتظاری را خود را در ۱۷۳۸ م . به عنوان راه حلی برای رفع این پارادوکس ابداع کرد. در سال ۱۷۷۶ م. که آدام اسمیت نظریه ی اقتصادی خود را بر مبنای کارهای پاسکال و برنولی و البته دیدگاههای خودش مطرح کرد، بدون درنظر گرفتن این نقایص،مفهوم میانگین ریاضی یا مقدار مورد انتظار را وارد نظریه ی اقتصاد کرد. البته باید توجه داشت که صد سال بعد از نظریه ی آدام اسمیت، نظریه ی ارگودیک و تفکیک دو میانگین فضایی و زمانی ابداع شد. بهرحال از زمان اسمیت به بعد، درعلم اقتصاد و بازارهای مالی برای اینکه بدانند چه روش سرمایه گذاری خوب است تنها به میانگین فضایی متوسل می شوند و همانطور که پیترز نشان داد این روش معمولا جوابگو نیست زیرا سیستم های مالی معمولا غیر ارگودیک هستند. اوله پیترز به اقتصاددان ها نشان می دهد که باید شما نیز به تفکیک این دو میانگین بپردازید و بعدش متوجه خواهید شد که توصیه ها و سیاست ها مبتنی بر میانگین مورد انتظار چقدر ناقص و خام هستند. به طور ضمنی او به همگان می آموزد بازی اقتصاد غیرعادلانه تر از آنچه هست که فکر می کنید! در واقع او یک ورژن جذاب تر و معقول تر از بازی سنت پترزبورگ ابداع کرد که مشابه معادله ی رشد تصادفی است. رشد تصادفی برای توصیف قیمت دارایی ها در ریاضیات مالی  یا معادله ی تولید مثل سلولی در زیست شناسیبه کار می رود و حالتی خاص از حرکت براونی است. او  سپس با اجرای الگوریتم های کامپیوتری به تحلیل دو مفهوم از میانگین پرداخت و بعدپارادوکس سنت پترزبورگ را برا اساس غیرارگودیک بودنتوجیه کرد. بازی پیترز چنین است:

• با سرمایه گذاری ۱۰۰ دلار وارد بازی می شوید. قانون بازی این است که یک سکه پرتاب می کنید اگر خط آمد ۵۰٪ به سرمایه ی قبلی تان اضافه می شود اما اگر شیر آمد ۴۰٪ از سرمایه ی قبلی را از دست می دهید. شما میتوانید این بازی را تا هر مرحله ی دلخواه انجام دهید. ظاهر بازی سودآور است زیرا میانگین مورد انتظار آن ۵٪ است و شما انتظار دارید که به طور متوسط هربار ۵٪ به سرمایه تان اضافه شود. اما جالب است که با شبیه سازی رایانه ای این بازی، تمامی افراد اولیه ی شرکت کننده در آن در طول زمان (ونه در یک لحظه خاص) ورشکست می شوند! اما در زمان هایثابتعده ی اندکیابرثروتمند می شوند! لذا میانگین ایستای مثبت ۵٪ بخاطر این عده ی اندک در هر لحظه است.

• اوابتدا این بازی را برای یک میلیون نفر شرکت کننده شبیه سازی کرد که هریک به مدت ۶۰ دقیقه بازی می کنند به طوریکه هر دقیقه نماینده ی یکبار بازی کردن باشد؛ یعنی هر نفر در عرض یک ساعت ۶۰ بار بازی کرده باشد. علت اتخاذ این تعداد زیاد نفرات بخاطر قانون اعداد بزرگ است تا اثرات شانس از بین برود و روندهای واقعی خود را نشان دهند.او سپس منحنی درآمد همه را رسم کرد و از همه ی آنها در هر واحد زمان (یک دقیقه) میانگین گرفت تا یک منحنی میانگین که خطی با شیب مثبت است به دست بیاورد. این منحنی در آخرین لحظه،درآمد بالای ۱۰۰۰ دلار را نشان می دهد. می توان این منحنی را برای یک سال بازی کردن این یک میلیون نفر ترسیم کرد. این نمودار میانگین در طول زمان روند افزایشی دارد. با دیدن آنومالی در روند،بایدطبق قانون اعداد بزرگ تعداد افراد شرکت کننده را زیاد کنیم تا روند افزایشی را دوباره مشاهده کنیم.

• در مرحله بعد او این بار بازی را برای یک نفر دلخواه انجام داد و حتی تا مدت زمان یکسال را شبیه سازی کرد. علت اتخاذ یکسال این است که این دفعه طبق قانون اعدا بزرگ، زمان اثرات شانس را از بین می برد. در ضمن هر فرد دسترسی به داده های (درآمد حاصل از بازی) افراد دیگر ندارد پس باید خودش داده ایجاد کند.  پیترز نشان داد که بازیگر در انتها با مقدار بسیار گزافی می بازد. دوباره برای دیدن این روند کاهشی (طبق قانون اعداد بزرگ) باید اعداد دفعات بازی زیاد شوند به طوریکه اگر یک نفر به اندازه ی زیاد بازی کند از جایی به بعد واقعا می بازد.

• بنابراین با لحاظ قانون اعداد بزرگ برای جبران آنومالی ها همانطور که در دو مورد بالا ذکر شد، میانگین جمعی در طول زمان روند افزایشی دارد اما میانگین فردی در طول زمان کاهشی است. حتی هنگام تطبیق دو نمودار بالا تا انتهای روز اول این روند مشهود است. این روندها و نمودارها نشان میدهد که اولا ثروت در بازه های زمانی ثابت در دست عده ی بسیار کم و خوش شانسی است ( توجه شود که در اینجا متغیر قدرت سیاسی و نفوذ را کلا نادیده گرفته ایم).ثانیاتمام افراد از جایی به بعد روند کاهشی و منفی را احساس می کنند! (دوباره قدرت سیاسی و نفوذ لحاظ نشده است). بنابراین اطلاعات منحنی میانگین جمعی به درد هیچ کسی در طول زمان نمی خورد زیرا این آگاهی ایستا بوده و فقط برای بازه های کوچک و ثابتی است. لذاوقتیکه میانگین های جمعی )مانند GDP ‌( قابلیت پیش بینی و تفسیر خوب به ما نمیدهند پس نباید در سیاست گذاری ها نیز آنچنان بزرگنمایی شوند. زیرا افراد اثرات آن سیاست ها را به صورت فردی و طولانی مدت در زندگی خود احساس می کنند نه به صورت اشتراکی و جمعی و آنهم در یک زمان کوتاه!

اوله پیترز را شاید بتوان فیلسوف عدالت هم نامید که با فرمول های ریاضی به دنبال آن است. تاثیر کارهای او  بر فلسفه و روانشناسی نیز محرز است و به ما می فهماند که باید متواضع تر بود و کم تر به مدل کردن استثناها برای همگان تکیه کرد زیرا لزوما توصیه های دیگران برای ما صادق نیست چرا که تجارب زندگی معمولا ارگودیک نیستند. البته این به معنی دست شستن از تلاش نیست بلکه باید راه خود را رفتو استعداد خود را یافت. چرا که به قول لویی پاستور، شانس سر راه انسانهایی سبز میشود که تلاش زیاد کرده اند. یعنی آن نقاط استثنایی سیستم نیز در محک تجربه و عمل آشکار می شوند پس اگر در زمینه ای خوب عمل نکردیم بهتر است که به دنبال کشف استعدادهای دیگرمان باشیم. حتی روش کار پیترز برای آزمایش های پزشکی و شرکت های دارویی بسیار مهم است. زیرا آنها بازده هی دارو را با میانگین فضایی و نه زمانی محک می زنند در حالیکه آنچه برای افراد مهم است بازدهی دارو در طول مدت زمان و برای یک نفر خاص است. فراتر آنکه او به عاشقان قمار و کازینوها می آموزد که بازی های قمار بشدت ناعادلانه است و معمولا به از دست دادن سرمایه منجر می شود و باعث انباشت سرمایه ی شما در جیب عده ی قلیلی می شود.

——

منابع:

این منابع با سرچ نام Ole Peters در اینترنت به راحتی پیدا می شوند:

• سخنرانیhttps://www.youtube.com/watch?v=LGqOH3sYmQA&ab_channel=TEDxTalks
• سخنرانیhttps://www.youtube.com/watch?v=VCb2AMN87cg&t=1s&ab_channel=ErgodicityTV
• Peters, The time resolution of the St Petersburg paradox, https://doi.org/10.1098/rsta.2011.0065
• وبسایت شخصی اوله پیترز: https://ergodicityeconomics.com
• کانال یوتیوب اوله پیترز: https://www.youtube.com/c/ErgodicityTV
• صفحه گوگل اسکالر اوله پیترز https://scholar.google.com/citations?user=oKKJdF4AAAAJ

*Fouad Naderi, department of mathematics, university of Manitoba, naderif@myumanitoba.ca

*دکتر فواد نادری، استاد دانشگاه و پسادکتری ریاضیات، دانشگاه منیتوبا کانادا